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    近三年新课标全国卷(Ⅱ)数据统计分析报告

    近三年新课标全国卷(Ⅱ)数据统计分析报告

    重庆市第一中学 李红林

    一、近三年新课标全国卷2数据分析综述

    1.试卷结构与题型分布:选择题,填空题分别为12+4道,每小题均为5分,共计80分。解答题共计5+1道,其中前面5道必做题,最后1道选做题(第22,23,24题三选一),必做题每题12分,选做题10分,共计70分。

    2.试卷总体难度平稳,注重双基(知识与技能)的考查,解题思路常规,试卷在考查通性通法的基础上体现灵活性,突出考查思维能力。也不回避对中学主体知识与重点知识的反复考查,主干与重点知识年年考,次主干知识轮番考查。高区分度试题也是以中学数学主干知识和主要思想方法为载体,难题也难得正宗,没有剑走偏锋,没有为了难住考生而设计偏难怪试题,试题的设计理念体现“大稳定、小创新、重运算、考思维”。

    3.近三年每种题型的压轴试题都是以函数为载体,选择题与填空题要么考查函数思想,要么考查运动变化观点,解答题则以导数为工具解决函数内部问题,主要考查函数、方程、不等式之间的关系,不过特别要注意高阶导数与超越不等式的作用,还要注意对代数式特殊结构特征观察与识别。

    4.支撑数学学科知识体系的重点内容占有较大的比例,构成数学试卷的主体(例如函数与导数、解析几何、立体几何等),注重考查学科的内在联系和知识的综合性,不刻意追求知识的覆盖面。从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题,在知识网络交汇点设计试题,使对数学基础知识的考查达到必要的深度。

    5.次重点知识板块也会出现高频考点,并且难度适中,例如集合与不等式结合、复数运算、算法框图、三视图、二项式定理、线性规划等。

    6.选择题与填空题一般以2-3个考点综合.解答题题以6-10个考点综合,涉及数学思想方法以2-4个,涉及的能力意识以2-3个,试题的题干字符数、图表数、运算量、思维量及解答总工作量等均恰当,选填题所需的解题步骤数一般在2-4步,而解答题所需的解题步骤数一般在5-8步,即使是区分度最高的试题所需的解题步骤数也在15步以内(包括分类讨论),并且全卷试题绝大多数入手都是基本类型,思路常规。

    7.选修内容难易适中,平面几何主要考查切线性质与相交弦定理;极坐标与参数方程时常设置陷阱(等价性变形);不等式主要考查简单不等式证明。

    二、近三年新课标全国卷2知识板块分析

    1.集合、逻辑与复数,算法及推理:

    年份

    题号

    知识点及题型

    步骤数

    2013

    1

    解二次不等式及集合运算

    2

    2

    复数四则运算

    1

    6

    程序框图与数列结合

    4

    2014

    1

    解二次不等式及集合运算

    2

    2

    复数四则运算与几何意义

    2

    7

    程序框图

    3

    2015

    1

    解二次不等式及集合运算

    2

    2

    复数四则运算

    2

    8

    程序运行

    5

    近三年都是考查3道客观题,分值为15分.集合与复数为第1、2两题,是简单题,集合主要是集合运算与解二次不等式相结合;复数主要体现在基本概念、四则运算与几何意义上,一般只需2个步骤即可;而算法框图一般于6—8题位置,虽然思路常规,但是需要通过运行程序,从而总结规律来解题,故算法在时间上有一些要求。

     2.函数与导数:

    年份

    题号

    知识点及主要题型

    步骤数

    2013

     

    8

    对数式运算及对数单调性

    3

    10

    三次函数性质(零点存在性及二分法,对称性,极值)

    4

    12

    以直线方程与三角形面积为载体)考查函数思想及分类讨论思想

    6

    21

    超越函数极值与单调性,函数最值与不等式,方程实根(二分法与单调性)

    13(Ⅰ6;Ⅱ7)

    2014

     

    8

    超越函数某点处的切线

    2

    12

    三角函数极值及不等式解法

    6

    15

    函数奇偶性、函数单调性及函数不等式

    2

    21

    超越函数单调性 ,函数为工具数据估算,分界点值分析,不等式恒成立

    7(Ⅰ3;Ⅱ4)

    2015

     

    5

    分段函数,指对数运算

    2

    10

    函数建模,函数变化趋势及最值(方法不同,则难度不同,若直接求解较难)

    3

    12

    抽象函数,奇偶性,单调性及函数不等式,构造函数商的导数

    6

    21

    超越函数单调性 ,二阶导数及函数的特殊值,函数最值,函数不等式

    16(Ⅰ4;Ⅱ12)

    近三年都是考查3道客观题和1道解答题,分值为27分.客观试题通常位于这种题型较靠后的位置(选择题8—12;填空题15,16)。选择题、填空题主要以考查函数的基本性质、函数图像及变换、函数零点、导数的几何意义等为主,也有可能与不等式等知识综合考查,选填题一般需要3—6步可解;解答题主要是以导数为工具解决函数、方程、不等式之间关系,很少出现函数与数列不等式相结合,高区分度试题都是以函数为载体考查函数思想与运动变化观,一般步骤较长,反复使用函数单调性,函数零点及导数与原函数关系等,还要注意含参数函数经过定点及常见超越不等式()的解题功能。

    3.数列:

    年份

    题号

    知识点及题型

    步骤数

    2013

    3

    等比数列通项,前项的和公式

    2

    16

    等差数列前项的和公式,数列单调性及数列最值

    4

    2014

    17

    等比数列定义及通项,分式型不等式放缩,等比数列求和(放缩方法多样)

    6(Ⅰ2;Ⅱ4)

    2015

    4

    等比数列基本量计算(或下标间隔相等性质)

    3

    16

    数列通项公式(与关系),通项与前项和,等差数列

    4

    近三年来,如果没有解答题,会有两个选填题;如果有解答题,为一个大题,不出现选填题。一般所占分值为10—12分。选填题以考查数列概念、性质、通项公式、前n项和公式等内容为主,属中低档题,一般有2—4个步骤;若数列单调性与最值则为较靠后的填空题,属于典型的中档题。解答题以考查等差(比)数列通项公式、求和公式,错位相减求和、简单递推数列为主。也有可能与不等式、数学归纳法等结合综合考查,整个数列的考查主要是以中低档题为主,考查常见的基本量计算,常见的通项公式求法和常规的数列求和方法,注重通性通法的考查。

    4.三角函数、解三角形与平面向量:

    年份

    题号

    知识点及题型

    步骤数

    2013

    13

    平面向量数量积运算(可化为基底也可坐标化)

    2

    15

    和差角公式,同角三角关系向量数量积(给值求值)

    4

    17

    正余弦定理,和差角公式,面积公式及均值不等式(三角形的三角函数)

    7(Ⅰ4;Ⅱ3)

    2014

    3

    向量数量积及向量模的转化

    2

    4

    解三角形,面积公式及余弦定理

    3

    14

    和差角公式及正余弦型函数最值

    2

    2015

    13

    向量平行及向量基本定理

    2

    17

    角平分线定理,面积法(面积比转化为线段比),解三角形

    6(Ⅰ2;Ⅱ4)

    近三年来,如果有解答题,则会出现1-2选填题;如果没有解答题则会有3-4个选填题,一般所占分值为15-22分。选填题一般主要考查三角函数的图像与性质、利用诱导公式与和差角公式、倍角公式、正余弦定理求值化简、平面向量的基本性质与运算。解答题主要以正、余弦定理为知识框架,以三角形为依托进行考查(注意在实际问题中的考查)或向量与三角结合考查三角函数化简求值以及图像与性质。另外向量也可能与解析等知识结合考查。因为选修部分作为解答题形式出现,故前面只有5道必做解答题,所以三角函数与数列只能轮流出现在解答题中,并且平面向量必定会以选填题的形式出现,故若没有解答题,则三角函数恒等变形以较靠后的选填题出现,若有解答题,则三角函数恒等变形往往在解答题中来考查,也可能会在较靠前的选填题之中。无论是哪种形式命题,数列、平面向量与三角函数都是中档试题,是考生必得分的试题内容,故在教学中要注意渗透基本思想,力争志在必得。

    5.解析几何:

    年份

    题号

    知识点及主要题型

    步骤数

    2013

    11

    抛物线方程及定义,圆方程

    4

    20

    斜率公式,椭圆基本量,弦中点,内接四边形面积最值(实际转化为弦长最值)

    8(Ⅰ3;Ⅱ5)

    2014

    10

    抛物线焦点弦及面积

    4

    16

    圆,切线,运动变化与最值

    2

    20

    斜率公式,椭圆基本量,定比分点及点在椭圆上(也可由椭圆定义处理)

    7(Ⅰ3;Ⅱ4)

    2015

    7

    圆方程及圆的弦长(垂径定理)

    4

    11

    点与双曲线,特殊角,离心率

    4

    20

    斜率公式,弦中点,平行四边形的性质,点与椭圆

    8(Ⅰ3;Ⅱ5)

    近三年来一般为2个选填题1个解答题,所占分值为22分。选填题一般主要考查:直线、圆及圆锥曲线的性质为主,一般结合定义,借助于图形容易求解,所需步骤一般在4步以内,但是少数问题思路的常规性不好,需要观察试题的特殊结构,从而找到解决问题的突破口。解答题一般以直线与圆曲线位置关系为命题背景,考查直线与圆锥曲线的两种常规问题:①弦长问题;②弦的中点问题。注意“联立方程解方程组,韦达定理整体带入”这个常见处理方式,特别要熟练掌握。并结合函数最值、不等式、导数、平面向量等知识,考查求轨迹方程问题,探求有关曲线性质,求参数范围,求最值与定值,探求存在性等问题。另外要注意对二次曲线间结合的考查,比如椭圆与抛物线,椭圆与圆等。本题入口较宽,方法具有多样性,故考生容易误入歧途,需要以目标导向设计计算途径和运算程序。

    6.立体几何:

    年份

    题号

    知识点及主要题型

    步骤数

    2013

    4

    线线,线面,面面位置关系证明(特殊几何体化,可大大降低难度;注意常见结论,不同途径步骤与难度均不同,此题区分度好)

    13

    7

    三视图与空间特殊点坐标特征

    3

    18

    证明线面平行,二面角计算(向量法计算较为简洁,注意坐标系需必要证明,回避二面角与法向量夹角关系)

    8(Ⅰ2;Ⅱ6)

    2014

    6

    三视图及圆柱体积计算(两个圆柱的组合体)

    3

    11

    直三棱柱及异面直线的角

    4

    18

    证明线面平行,二面角及体积计算(注意由计算定点坐标及三棱锥体积转化(点面距离的转化))

    8(Ⅰ2;Ⅱ6)

    2015

    6

    三视图及还原,体积计算

    2

    9

    球表面积公式,三棱锥体积最值(建构不等式求最值)

    3

    19

    构作截面,计算线面角(判断平面相交,线面垂直,线面平行)

    8(Ⅰ4;Ⅱ4)

    近三年来一般为2道选填题1道解答题,所占分值为22分。选填题一般侧重于线线、线面、面面的位置的关系、空间几何体中的空间角的计算以及三视图表面积体积考查,其中选填题一个靠前,一个靠后。判断位置关系时,特别要注意到将这些元素放在特殊几何体中以及常见小结论的积累与使用。解答题则主要是证明平行与垂直,计算夹角与距离为考查目标。 几何体以四棱柱、四棱锥、三棱柱、三棱锥等为主。特别要注意到:与重庆卷比较,全国卷2对传统的综合法有一定的要求,这个情况在选填题中专门设置一道试题考查位置关系,在解答题中,一般需要简单证明建立坐标系的合理性,同时专门回避利用数量关系来判断“二面角与法向量夹角关系”这个生僻的考查点,这对高中数学教学有积极的指导作用。

    7.计数原理、概率与统计和统计案例:

    年份

    题号

    知识点及主要题型

    步骤数

    2013

    5

    二项式定理特征项

    2

    14

    古典概型

    2

    19

    实际问题数学化,直方图,概率分布列及期望

    6

    2014

    5

    独立事件的概率

    1

    13

    二项式定理特征项

    1

    19

    确定回归直线及其估算预测值

    5(详细步骤)

    2015

    3

    柱状图

    1

    15

    二项展开式的系数之和

    2

    18

    通过制作茎叶图比较均值和分散度,数据整理统计,互斥事件与独立事件的概率

    7(Ⅰ4;Ⅱ3)

    近三年来一般为2道选填题1道解答题。选填题一般主要考查:频率分布直方图、茎叶图、样本的数字特征、几何概型和古典概型、抽样、排列组合、二项式定理、几个重要的分布等。茎叶图和二项式定理考查几率较大,排列组合考查力度较小,一般都是考查基本类型.解答题考查点比较固定,一般考查离散型随机变量的分布列、期望和方差。仍然侧重于考查与现实生活联系紧密的应用题,体现数学的应用性。特别要提醒的是回归直线作为解答题出现,故建议加强回归直线这个专题,但不需要无限加深搞透,这个知识反而考得非常简单。

    8.不等式与线性规划:

    年份

    题号

    知识点及主要题型

    步骤数

    2013

    9

    标准型线性规划

    2

    2014

    9

    标准型线性规划

    2

    2015

    14

    标准型线性规划

    2

    近三年来几乎每年都有一个题目,并且目标函数与约束条件均为线性的。新课标高考对不等式的要求是:突出工具性,淡化独立性。小题一般考查不等式的基本性质及解法(一般与其他知识联系,比如集合、分段函数等)、基本不等式性质应用、线性规划。解答题一般以其他知识(比如数列、解析几何及函数等。)为主要背景,考查均值不等式为工具求最值。

    9.选修部分

    年份

    题号

    知识点及主要题型

    步骤数

    2013

    22

    弦切角,三角形相似,圆内接四边形性质,相交弦定理,切割线定理,勾股定理

    8(Ⅰ4;Ⅱ3)

    23

    参数法求轨迹,同角三角关系,和差角公式,二倍角公式

    7(Ⅰ3;Ⅱ4)

    24

    均值不等式与不等式性质证明简单不等式

    5(Ⅰ3;Ⅱ2)

    2014

    22

    弦切角,等边对等角,外角定理,相交弦定理,切割线定理

    7(Ⅰ3;Ⅱ4)

    23

    极坐标方程,参数方程及普通方程的互化,切线的几何性质,垂直斜率表示

    4(Ⅰ2;Ⅱ2)

    24

    三角不等式,均值不等式求最值及零点分段讨论法

    5(Ⅰ2;Ⅱ3)

    2015

    22

    切线长,相似三角形,平行线定理,切线性质,特殊直角三角形性质,垂径定理,面积比化为相似比

    7(Ⅰ3;Ⅱ4)

    23

    极坐标方程,参数方程及普通方程的互化,直线与圆的交点坐标,二次分式函数最值

    8(Ⅰ3;Ⅱ5)

    24

    不等式性质及分析法证明不等式,充要条件

    5(Ⅰ2;Ⅱ3)

    近三年来,几何证明选修部分都要考查切线的性质,三角形相似以及圆内接四边形是高频考点,也要注意计算的思路在平面几何的作用,注意到利用解三角形思路解决平面几何中线段长度与角度问题。

    极坐标与参数方程选修部分主要考点为极坐标方程、参数方程与普通方程的互化,同时注意检验方程互化的等价性。也要注意利用参数法求轨迹以及角度参数与三角函数的综合。

    不等式选讲部分主要考查简单不等式的证明,主要考查有三类模式:①以均值不等式与不等式性质依据使用综合法证明简单不等式;②以均值不等式与不等式性质分析法证明;③三角不等式及绝对值不等式解法等。其中证明不等式出现的频率更高。

    一般情况下,这三个选做题难度适中,彼此之间难度相当,几何证明与极坐标参数方程解题所需的步骤长度差不多,不等式证明所需的解题步骤长度相对短一些,但是不等式的突破口相对难找到一点。从考生的熟练程度和知识的相关性看,选做极坐标与参数方程相对容易一些。

     [三、关于教学与备考的一些意见和建议

    1.数学教学与高考复习仍然要重基础。数学教学与高考复习中,没有必要每个知识点都无限上纲,无限加深难度,而恰好要对基本的运算能力、逻辑推理能力的训练要到位,尽量解决好“会而不对”这个老大难问题。千万不要以为能力立意对运算要求降低,其实寻找与设计运算程序和途径的要求没有丝毫降低,对代数式运算的要求也并未降低。

    2.数学教学与高考复习中要反复渗透数学思想,并培养数学美感。因为它是基本能力的高层次的反映,而这又需要从运算准确、表达清楚、推理严密等基本功的强化着手,通过严格训练学生从审题、解答到反思,独立完成解题全过程来实现。数学教学与高考复习的重点应放在研究、研讨上,而不是灌输,重在通过反复琢磨提高学生的悟性,让学生反复琢磨,“念念不忘,必有回响”。让学生反复体会在数学各个知识板块都使用的思想方法:如运动变化与极端原理,归纳与类比,标准化,方程思想(消元与降次),对称性与简洁性等。

    3.数学教学与高考复习目标四化。知识理解“深化”、考试题型“类化”、通性通法“强化”、解题思维“优化”。数学教学与高考复习内容四查:查考纲把握方向、查考题明辨重点、查课本回归基础、查学情对症下药。数学教学与高考复习要求四通:对学生点,心有灵犀一点通;让学生悟,融会贯通;让学生做,触类旁通;让学生考,无师自通。

    4.提高新增内容的教学要求。新增内容的要求既要掌握考试手册要求,还要理解一些概念的内涵,高考考查的往往是教学中不引人注意的地方,如三种方程互化的等价性、随机变量的均值、回归分析等等。

     


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